KOORDINAT KARTESIUS , VEKTOR DAN PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI

A. Koordinat Kartesius dan Vektor Ruang Dimensi Tiga

Selamat malam gengs, kali ini kita akan membahas mengenai koordinat tiga dimensi yaaa.. Kalau mendengar kata 3D apa yang ada di pikiran kalian gengs?? gambar agak nyata ya? disinii imajinasi kita bermain, bukan main lagi.. hehe . ok gengs, Dalam sistem koordinat kartesius ini kita ambil patokan bahwa sumbu y diambil mendatar (arah kanan (+) dan arah kiri (-), sumbu z diambil vertikal (arah atas (+) dan arah bawah (-) sedangkan sumbu x yang menuju arah kita sebagai arah positif dan arah lawannya adalah negatif.

ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz dan bidang yz. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan I,II,II,IV,...,VIII.

Oktan I,II,III,IV diatas bidang xy
Oktan V,VI,VII,VIII dibawah bidang xy

Oktan I           : (x⁺ , y^+, z⁺)                                        

Oktan II          : (x⁺ , y-^, z⁺)                                          

Oktan III         : (x^- , y^-, z⁺)                                          

Oktan IV         : (x^- , y^+, z⁺)                                          

Oktan V          : (x⁺ , y^+, z^-)

Oktan VI         : (x⁺ , y^-, z^-)

Oktan VII        : (x^- , y^-, z^-)

Oktan VIII       : (x^- , y^+, z^-)

Cara menggambarkan titik P(x,y,z)

1. Letakkan titik di koordinat x

2. Geser ke kanak atau ke kiri sesuai dengan titik yanng ditentukan

3. Geser ke atas atau ke bawah sesuai dengan titik yang ditentukan.

Jarak antara 2 titik

Misalkan Titik P(x₁,y₁,z₁) dan R(x₂,y₂,x₃)

Untuk mengetahui jarak antar dua titik tersebut didapatkan dengan cara.

1. Gambarkan proyeksi titik P dan R sehingga didapatkan 2 balok

2. Dari titik  P dan R dibuat balok sedemikian hingga titik P dan R tersebut adalah  

    diagonal ruang balok tersebut.

3. Kemudian Proyeksikan titik P ke bidang XY sehingga didapatkan PR

4. segitiga PQR membentuk sebuah segitiga siku siku

5. Dengan menggunakan rumus Phytagoras maka didapatkan bahwa panjang PQ

    adalah :

Jarak titik ke bidang :

Jarak titik ke garis :

Vektor Pada Ruang ( Dimensi 3)

Vektor di ruang 3 adalah vektor yang mempunyai 3 buah sumbu yaitu x , y , z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.
Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk :

1. koordinat kartesius p  =  (x, y, z)
2. vektor kolom p  =   atau, vector baris p=(x,y,z)
3. kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu : p  = xi + yj + zk

dengan i =,j = , dan k =
i = vektor satuan dalam arah OX
j = vektor satuan dalam arah OY
k = vektor satuan dalam arah OZ

  

Modulus Vektor
Modulus vektor yaitu besar atau panjang suatu vektor. Jika suatu vektor  dengan koordinat titik A (x₁ , y₁ ,z₁) dan B (x₂ , y₂ , z₂) maka modulus (besar) atau panjang vektor   dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu :

Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a₁i + a₂j + a₃k , maka modulus vektor a adalah :

Perkalian Titik Pada Vektor

Jika u = < u₁, u_2, u₃> dan v = < v₁, v_2, v₃>, maka perkalian titiknya didefinisikan sebagai berikut

Dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh u dan v dan serta 0 ≤ θ ≤ phi

Dari definisi diatass didaptkan rumus sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v yaitu,

Perkalian Vektor

Jika u = < u₁, u_2, u₃> dan v = < v₁, v_2, v₃> maka perkalian kedua vektor adalah,

Hasil Kali Silang Dua Vektor

Perkalian silang dua vektor a = a₁i + a₂j + a₃k dan b = b₁i + b₂j + b₃k didefinisikan sebagai berikut,

Dengan θ adalah sudut yang dibentuk kedua vektor dan u adalah vektor satun yang tegak lurus pada a dan b.

B. Persamaan Bidang Datar 

           Ini nih persamaan umum pada koordinat kertesius 3 dimensi gengs :

Ax + By + Cz + D = 0 dimana A² + B² + C² ≠ 0

Gambarkanlah persamaan berikut untuk menentukan bidang dengan garis :

x + 2y + z = 4

Penyelesaian :

Titik potong disumbu-x sehingga y = z = 0

x + 0 + 0 = 4

x = 4

Sehingga diperoleh titik (4,0,0)

Titik potong disumbu-y sehingga x = z = 0

0 + 2y + 0 = 4

2y = 4

y = 2

Sehingga diperoleh titik (0,2,0)

Titik potong disumbu-z sehingga x = y = 0

0 + 0 + z = 4

z = 4

Sehingga diperoleh titik (0,0,4)

Jika digambarkan akan berbentuk seperti ini :

2. x + 2z = 6

Penyelesaian : 

Titik potong disumbu-x sehingga z = 0

x + 0 = 6

x = 6

Sehingga diperoleh titik (6,0,0)

Titik potong disumbu-z sehingga x = 0

0 + 2z = 6

z = 3

Sehingga diperoleh titik (0,0,3)

Jika digambarkan akan berbentuk seperti ini :

 

Jika diketahui dua bidang yaitu A1x + B1y + C1z = D1 dan A2x + B2y + C2z = D₂, maka

1. Jika θ adalah sudut antara dua bidang ini, maka :

2. Dua bidang tersebut saling tegak lurus, apabila

 3. Dua bidang tersebut sejajar apabila

4. Dua bidang tersebut berimpitan, apabila

Jika d adalah jarak titik P (x1,y1,z1) ke bidang Ax + By + Cz = D 

 Tugas

Apakah terdapat titik potong pada persamaan berikut :

x + 2z = 6

x – 2y + 2z = 4

Bidang P (1,2,3) tegak lurus vektor n =<3,2,1>

Penyelesaian :

x + 2z = 6

Titik potong terhadap sumbu-x maka z = 0

x = 6

Sehingga diperoleh titik (6,0,0)

Titik potong terhadap sumbu-z maka x = 0

2z = 6

z = 3

Sehingga diperoleh titik (0,0,3)

Gambarnya berbentuk seperti ini:

x – 2y + 2z = 4

Titik potong terhadap sumb-x maka y = z = 0

x = 4

Sehingga diperoleh titik (4,0,0)

Titik potong terhadap sumbu-y maka x = z = 0

-2y = 4

y    = -2

Sehingga diperoleh titik (0,-2,0)

Titik potong terhadap sumbu-z maka x = y = 0

2z = 4

z   = 2

Sehingga diperoleh titik (0,0,2)

Gambarnya berbentuk seperti ini:

P (1,2,3) ; x1 = 3 , y1 = 2 , z1 =1

Vektor n = <3,2,1> ; A= 1, B= 2, C= 3

Untuk mencari persamaan :

A (x – x1) + B (y – y1) + C(z – z1)= 0

3 (x – 1) + 2 (y – 2) + 3 (z-1) = 0

3x – 3 + 2y – 4 +3z -3= 0

3x + 2y + z = 10

Titik potong terhadapsumbu-x makay = z = 0

3x + 0 +0=10

3x = 10

x = 3,3

Sehingga diperoleh titik (3,3 ; 0 ; 0)

Titik potong terhadap sumbu-y maka x = z = 0

0 +2y + 0 = 10

2y = 10

y = 5

Sehingga diperoleh titik (0,5,0)

Titik potong sumbu z maka x = y = 0

0 + 0 + z = 10

z = 10

Sehingga diperoleh titik (0, 0 , 10)

Gambarnya berbentuk seperti ini:

Ketika ketiga gambar tersebut dibuat dalam satu koordinat kartesius tiga dimensi, maka gambarnya akan berbentuk seperti ini :

Dari gambar di atas, dapat kita simpulkan bahwa ketiga bidang tersebut bertemu di salah satu titik. Sehingga ketiga bidang tersebut berpotongan di satu titik.

Sekian dulu untuk hari ini yaaa guys, semoga bisa bermanfaat.. apabila ada kesalahan mohon kritik daan sarannya dengan sopan yaaaa. Sampai jumpa...:)