Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus

         Hy guys..sebelum kitabahas tentang koordinat kartesian, kita harus tau dulu apa sih itu Geometri analitik? Jangan sampai kita belajar isinya tetapi kita tidak paham tentang bungkusnya. Ok guys.. Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah geometri yang lebih sistematik dan lebih tegas. Masalah-masalah geometri akan diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik). Sebaliknya gambar geometri sering memberikan pemahaman yang lebih jelas pada pengertian hasil secara aljabar. Dalam hal ini juga memungkinkan menyelesaikan masalah aljabar secara geometri, tetapi model bentuk geometri jauh lebih penting daripada sekedar penyelesaian, khususnya jika bilangan dikaitkan dengan konsep pokok geometri. 

A.         Sekarang kita membahas tentang koordinat Kartesian, sesuatu yang tidak asing lagi bukan di telinga kita? ngomong-ngomong, kamu tau tidak siapa penemu  koordinat tersebut? tidak inga? hmmm.. sama dong, tunggu sebentar, cliiiiiiiiings saya baru ingat gengs penemunya yaitu Rene Descartes (1596-1650)

Descartes adalah penemu berkebangsaan Perancis, lahir pada 31 Maret 1596 dan meninggal di Stockholm, Swedia pada 11 Februari 1650 ( usia 53 tahun ).  

Masalah-masalah geometri menjadi masalah aljabar menggunakan koordinat sehingga dapat diselesaikan dengan manipulasi aljabar dimana untuk menentukan letak atau posisi pada bidang datar diberikan suatu patokan yang terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus,yaitu garis horizontal disebut sumbu x (absis) dan garis vertikal disebut sumbu y (ordinat).

Sistem koordinat cartesius terbagi menjadi empat daerah yang disebut kuadran. Seprti terlihat pada gambar :

Hubungan nilai absis dan ordinat pada kuadran yaitu :

Kalau kita berbicara mengenai diagram cartesius pasti tidak lepas dengan titik, yuuups kedua hal ini lengket banget kayat lem dan perangko. Ngomong-ngomong kamu tau tidak apa itu titik? 

Gambar sebuah titik pada sistem koordinat cartesius, misal titik P terletak di (a,b) :

Jika terdapat dua buah titik dan kemudian kita hubungkan, maka kita dapat menghitung panjang ruas garis tersebut ya gengs..

 Maka,rumusnya adalah :

  

 Oh iya gengs, ada juga loooh Teorema-teorema dasar tentang keududukan titik-titik, yaitu sebagai berikut :

Oh ya gengs, dalam geometri biasanya terdapat soal-soal berbentuk pemecahan masalah. OMG masalah hidup sudah banyak ditambah lagi dengan masalah geometri.. tenang gengs, ini ilmu looooh. Tahu nggak apa itu pemecahan masalah? OK deh saya kasih tau pemecahan masalah (problem solving) merupakan suatu prosedur untuk menemukan penyelesaian yang tepat atas suatu masalah. Prosedur yang dipakai yaitu pemecahan masalah polya dan ternyata prosedur ini pertama kali diformulasikan oleh George Polya (1887 -1985). 

Prosedurnya yaitu sebagai berikut:

1)        Understanding the Problem

Tahap pertama yang dilakukan untuk memecahkan masalah adalah memahami masalah. Cara yang disarankan Polya untuk memahami masalah dengan baik yaitu dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut :

a.         Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

b.         Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

c.          Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?

d.         Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?

e.         Informasi apa saja yang tidak ada / hilang dari permasalahan itu ?

f.          Informasi apa saja yang tidak dibutuhkan dari permasalahan itu ?

2)        Devising a Plan

Tahap kedua pemecahan masalah adalah menentukan rencana penyelesaian berupa strategi-strategi pemecahan masalah. Beberapa strategi pemecahan masalah antara lain :

a.         Menemukan pola

b.         Menguji masalah yang relevan dan memeriksa apakah teknik yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

c.          Menguji masalah yang lebih sederhana atau khusus dari permasalahan itu dan diperbandingkan dengan penyelesaian masalah sebenarnya

d.         Membuat tabel

e.         Membuat diagram / gambar

f.          Menebak dan memeriksa (guess and check / trial and error)

g.         Menggunakan persamaan (equation) matematika

h.         Bekerja mundur (work backward)

i.           Mengidentifikasi bagian dari hasil (subgoal)

3)        Carrying Out the Plan

Tahap ketiga pemecahan masalah terdiri dari tiga aktivitas yaitu :

a.         Menerapkan satu atau lebih strategi pemecahan masalah untuk menemukan penyelesaian atau perhitungan

b.         Memeriksa setiap langkah strategi yang digunakan baik secara intuitif maupun dengan bukti formal

c.          Menjaga keakuratan proses pemecahan masalah

4)        Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :

a.         Memeriksa dengan pembuktian

b.         Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan berdasarkan rasional atau pun argumentasi (reasonable)

c.          Jika memungkinkan lakukan pengujian untuk masalah lain yang relevan atau pun yang lebih umum dengan menggunakan teknik/strategi pemecahan masalah tersebut

Contoh - contoh soal :

1  1. Tentukan kedudukan dari: rute seorang pelari bergerak dengan jarak yang sama terhadap sisi jalur lain yang lurus

Penyelesaian :

1)      Understanding the problem

a)      Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri

Ø  Misal rute seorang pelari yaitu titik A, dan jalur pelari yaitu garis c dan d.

Ø  Misal jarak garis c ke A yaitu X_CA dan ajarak d ke A yaitu X_Da.

Ø  Jadi rute pelari adalah kumpulan titik sehingga jarak pelari dengan kedua rite lari selalu sama.

b)      Tentukan apa sajakah yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan?

Ø  Bentuk apakah yang akan didapat dari kumpulan titik tersebut?

c)       Apa saja yang tidak diketahui dari masalah itu?

Ø  Jarak garis c dan garis d.

d)      Informasi apa saja yang diperoleh dari permsalahan itu?

Ø  Garis c dan dberbeda posisi dan sejajar

Ø  Jarak garis c terhadap  A, dan jarak garis d terhadap A selalu sama.

2)      Devising a plan

a)    Membuat diagram/gambar

Ø  Menggambar garis c dan d serta titik-titik A.

b)  menguji masalah yang relevan dan memeriksanya apa dapat digunakan

Ø  Memeriksa jika ada satu atau lebih teorema dasar kedudukan titikyang sesuai dengan permasalahantersebut.

3)      Carying out the plan

a)      Membuat diagram/gambar

b)      Memeriksa jika ada teorema yang sesuai

Berdasarkan gambar uji coba, yang didapat dari permasalahan di atas sesuai dengan Teorema 1.4 yaitu kedudukan titik yang berjarak sama dari dua buah garis sejajar merupakan sebuah garis yang terletak diantara keduanya dan sejajar dengan dua garis tersebut.

Berdasarkan gambar dan teorema yang didapat, maka kedudukan pelari dengan jalur lari dapat dinyatakan sebagai sebuah ruas garis sejajar terhadap dua garis jalur lari dan membagi dua garis jalur lari menjari berjarak sama terhadap pelari.

4)      Looking back

a)      Mengintepretasikanpenyelesaian solusi permasalahan berdasarkan rasional maupun argumentasi.

Ø  Jika terdapat dua garis sejajar c dan d maka akan ada 3 kemungkinan kumpulan titik yang berjarak sama.

Ø  Kemungkinan pertama, berada di atas garis c tetapi tidak memiliki jarak yang sama terhadap garis d.

Ø  Kemungkinan kedua, berada di bawah garis d, tetapi tidak memiliki jarak yang sama terhadap garis c.

Ø  Jadi rute pelariberupa kumpulan titik yang berjarak sama pada jalur c dan d yaitu terletak diantara garis c dan garis d.

2. Pembuktian  
     p : Kedudukan titik-titik pada suatu ruas garis berjarak sama dari P dan Q  
     q : Ruas garis tegak lurus PQ dan membagi PQ menjadi 2 bagian sama panjang
Diketahui : Titik P dan titik Q -Ruas garis AB tegak lurus PQ dan membagi ruas garis PQ  
Ditanya : Misalk sembarang titik di AB dalah C, C berjarak sama ke PQ yaitu ?
Penyelesaian :

Definisi Persamaan Garis Lurus 
         Garis lurus dapat di artikan sebagai gradien garis lurus atau koefisien garis adalah ukuran kemiringan suatu garis terhadap sumbu x positif.
         Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius.
jika kita membahas tentang persamaan garis lurus, maka pasti akan berhubungan dengan gradien.benar kan?? oke gengs, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.


 

Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol.
 Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.

Menentukan Persamaan Garis dari Gradien dan Titik Koordinat

Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 3.1. Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis k pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(x₁, y₁) dan tidak melalui titik pusat koordinat sehingga persamaan garis pada Gambar 3.11 dapat dituliskan:
y₁ = mx₁ + c ….(1)
Adapun bentuk umum persamaan garis yang tidak melalui titik pusat koordinat dituliskan:
y = mx + c ….(2)

Jika ditentukan selisih dari persamaan (2) dan persamaan (1) maka diperoleh:

Selanjutnya diperoleh rumus umum untuk menentukan persamaan garis jika diketahui gradien dan titik koordinat, yaitu:

Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari cara menentukan persamaan garis yang melalui satu titik koordinat dan gradiennya diketahui. Sekarang, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan persamaan garis yang melalui dua titik. Caranya hampir sama dengan rumus umum yang telah dipelajari sebelumnya.
Coba kamu perhatikan uraian berikut :
• y – y1 = m (x – x1) adalah rumus umum persamaan garis dari gradien dan titik koordinat.

Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik koordinat adalah

Contph soal: 
1. Persamaan garis lurus yang melalui titik ( 0 , -2 ) dan m = 3/4 adalah . . .

     Diketahui :

                       titik garis ( 0 , -2 )

                        m = 3 / 4

     Ditanya : Persamaan garis . . .?

     Jawab :

v                  Cara 1

y = mx + c

y = 3/4 x  + ( -2 )   x 4

< => 4y = 3x – 8

< = > -3x + 4y + 8 = 0

v                    Cara 2

y – y1 = m ( x – x1 )

y – ( -2 ) = 3/4 ( x – 0 )

y + 2 = 3/4 x     x 4

< = > 4y + 8 = 3x

< = > -3y + 4y + 8