Geometri Analitik

Garis Luurus (lanjutan) dan Lingkaran

Oh ya gengs, konsep penting dalam mendeskripsikan sebuah garis dan selalu digunakan dalam pembahasan grafik adalah sudut inklinasi dan kemiringan. Pertama kita ingat kesepakatan dari trigonometri yaaagengs; bahwa sudut yang diukur dalam arah berlawanan arah putar jarum jam adalah positif, dan yang diukur searah putaran jarum jam adalah negatif.

Definisi :

Sudut inklinasi dari garis lurus yang berpotongan dengan sumbu-x adalah ukuran sudut non-negatif terkecil dari sudut yang dibentuk antara garis itu dengan sumbu-x positif.

Sudut inklinasi dari garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah 0.

Kita gunakan simbol q untuk menyatakan sudut inklinasi. Sudut inklinasi sebuah garis selalu kurang dari 180°, atau p radian, dan setiap garis mempunyai sudut inklinasi. Jadi untuk sembarang garis berlaku

Gambar berikut ini menunjukkan beberapa garis dan sudut inklinasinya.

Definisi :

Kemiringan (slope) m dari suatu garis adalah nilai tangen dari sudut inklinasinya; yaitu

m = tan q

Adalah mungkin, jika dua sudut yang berbeda mempunyai nilai tangen yang sama, tetapi tidak mungkin dua sudut inklinasi yang berbeda mempunyai kemiringan yang sama. Hal ini disebabkan pembatasan sudut inklinasi, yaitu 0° £ q < 180°. Salah satu masalah yang muncul adalah kemiringan dari garis dengan sudut inklinasi = 90°, sebab tangen 90° tidak ada. Jadi garis vertikal mempunyai sudut inklinasi 90° tetapi tidak mempunyai kemiringan. Kadang-kadang dikatakan bahwa kemiringan garis vertikal adalah “tak hingga”, atau lambang “¥”. Bagaimanapun lambang ini bukanlah bilangan. Akan tetapi garis dengan sudut inklinasi nol yaitu garis horisontal mempunyai kemiringan yaitu nol.

Terlepas dari ketiadaan kemiringan garis vertikal, ada suatu hubungan yang sederhana antara kemiringan dengan pasangan koordinat titik pada suatu garis. Kemiringan suatu garis dapat dinyatakan dalam bentuk dari koordinat sembarang dua titik pada garis itu, misalnya melalui titik P₁(x₁, y₁) dan P₂(x₂, y₂) seperti pada gambar berikut:

Maka kemiringan garis P₁P₂ diberikan oleh

Jika dua garis yang bukan vertikal adalah sejajar maka harus mempunyai sudut inklinasi sama besar, sehingga mempunyai kemiringan yang sama. Jika dua garis sejajar adalah vertikal maka salah satunya pasti tidak mempunyai kemiringan. Sebaliknya jika garis mempunyai kemiringan sama maka mereka mempunyai sudut inklinasi yang sama dan oleh karena itu mereka sejajar. Jadi

dua garis yang mempunyai kemiringan m₁ dan m₂ adalah sejajar jika dan hanya jika

m₁ = m₂

atau kedua garis tidak mempunyai kemiringan, seperti pada gambar berikut ini:

Jika dua garis bukan vertikal l₁ dan l₂ dengan sudut inklinasi q₁ dan q₂ tegak lurus, seperti pada gambar :

Di lain pihak, jika m₁ = 1 / - m2 , dengan argumen penelusuran balik penalaran di atas maka dapat ditunjukkan bahwa selisih sudut inklinasinya adalah 90° dan kedua garis adalah tegak lurus. Kenyataan itu dituangkan dalam teorema berikut.

Jika dua garis l₁ dan l₂ mempunyai kemiringan m₁ dan m₂ berturut-turut, maka mereka

(a) sejajar jika dan hanya jika m₁= m_2,

(b) tegak lurus jika dan hanya jika m₁m₂ = –1.

Garis Normal
Iya gengs, normal? Masih normal kan belajar geometri? Hehehe..
Tau kan apa itu garis normal? Yuuuups, Garis Normal adalah garis yang yang tegak lurus terhadap garis yang memotong sumbu x dan sumbu y.

Persamaan Hesse atau persamaan normal suatu garis lurus
Dimana,

n = panjang normalnya yaitu garis yang melalui 0 dan tegak lurus garis tersebut.

= sudut yang diapit garis normalnya dengan sumbu x.

Mengubah persamaan umum menjadi normal :

Yuk gengs kita kerjakan soal dibawah ini:
Contoh : akan diubah persamaan garis 2x + 5y + 10 = 0 menjadi persamaan normal

Gengs, Ini ada Persamaan garis lurus yang diketahui titik potongnya dengan sumbu x dan y

Persamaan garis di atas yang memotong sumbu x di (a,0) dan memotong sumbu y di (0,b).

Jarak suatu titik dari suatu garis lurus

Misal titik A(x₁, y₁)
1. Jarak titik A dari garis lurus yang persamaan garisnya

2. Jarak titik A dari suatu garis lurus yang persamaan garisnya Ax + By + C = 0

3. Jarak titik A dari garis lurus yang persamaan garisnya y = mx + n

Hubungan dua buah garis lurus
Misal persamaan dua garis tersebut:
G₁ = A₁x + B₁y +C₁ = 0
G₂ = A₂x+ B₂y + C₂ = 0
Kemungkinan letak dari 2 garis tersebut :

Jika persamaan-persamaan garis lurusnya

Maka,

Sudut antara duagaris lurus

Misal a antara sudut antara garis lurus.
Misal persamaan dua garis tersebut :
G₁ = A₁x + B₁y + C₁ = 0

G₂ = A₂x + B₂y + C₂ = 0

Maka,

1 Lingkaran

Definisi Lingkaran

Sekarang kita bahas tentang lingkaran ya gengs. Yuk gengs, Perhatikan gambar lingkaran di bawah ini!

Sebuah lingkaran mempunyai beberapa unsur, diantaranya jari – jari dan pusat lingkaran .

O merupakan titik pusat.

OA, OB , dan OC adalah jari – jari .

Jari – jari (r) pada lingkaran memiliki panjang yang sama. Sehingga, OA = OB = OC

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa :

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik (himpunan titik) yang jaraknya terhadap satu titik tertentu

adalah sama ( konstan ) .

Titik tertentu disebut pusat lingkaran,dan jarak konstan disebut jari – jari lingkaran.

1 Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r

Misalkan titik P(x₀,y₀) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran, maka:

Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapat menghilangkan indeks 0 pada x₀ dan y₀, sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi x² + y² = r²

Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah :

1 Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari r

Jarak MP = r = jari –jari. Titik M (a,b) adalah pusat lingkaran. Andaikata P (x₀,y₀) adalah titik yang terletak pada lingkaran, maka dengan menggunakan definisi lingkaran didapat :

Dengan menghilangkan indeks 0, maka didapat : (x – a)² + (y – b)² = r² Jadi, persamaan Lingkaran dengan pusat M (a,b) dan jari – jari r adalah :

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

x² + y² + Ax + By + C = 0

Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, siswa dapat menemukan pusat dan jari – jari lingkaran, dengan cara sebagai berikut :

Persamaan Lingkaran

Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari – jari lingkaran. Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah

Garis Singgung

Definisi Garis Singgung

Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut!

Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c. Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini:

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Buah Lingkaran

Gambar di atas menunjukkan lingkaran P dan lingkaran Q yang secara berturut-turut memiliki panjang jari-jari r₁ dan r₂. Garis RT merupakan garis singgung persekutuan dalam dari lingkaran-lingkaran P dan Q. Apabila ruas garis RT digeser ke atas sejauh PT sedemikian sehingga titik T berimpit dengan P dan menghasilkan ruas garis SP maka SP = RT, dan SR = PT = r₁. Perhatikan bahwa SQ = SR + RQ = PT + RQ = r₁ + r₂, dan jarak antara titik-titik pusat lingkaran-lingkaran P dan Q adalah d. Karena segitiga QSP siku-siku di S, maka berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut:

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Buah Lingkaran

Misalkan lingkaran A dan lingkaran B berikut secara berturut-turut memiliki jari-jari yang panjangnya r₁ dan r₂, seperti diperlihatkan oleh gambar berikut ini:

Garis DC di atas merupakan garis singgung persekutuan luar dari lingkaran A dan lingkaran B. Apabila Ruas garis DC digeser ke bawah sejauh CE sedemikian sehingga titik D berimpit dengan titik A, maka DC = AE dan DA = CE. Perhatikan bahwa EB = CB – CE, dan misalkan AB = d.

1 Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran

Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut:

Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran.

Persamaan Garis Singgung Bergradien m

Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsure lain yang berhubungan dengan gradient. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah:

1 Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m.

a. Menggunakan rumus

Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A (x₁,y₁)pada lingkaran (x – a)² +(y – b)² = r² adalah y – y₁= m (x – x₁) adalah

b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m

Teknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgng bergradien m.

Hubungan antara garis dan lingkaran

Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingkaran, misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis yang memotong lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis yang memotong lingkaran di satu titik saja, yaitu titik C dan garis yang tidak memotong lingkaran. Sehingga posisi garis terhadap lingkaran ada 3 macam, yaitu:

Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda