KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

A. Koordinat Kutub (Polar)
                Selamat berjumpa kembali guys.. maaf yaaa beberapa minggu tak berjumpa dikarenakan tugas kuliah pada berusaha membunuh saya,alhamdulillah saya pun selamat dan bisa berjumpa lagi bersama kalian. hahaha.. ok gengs, kali ini kita bakal bahas mengenai koordinat kutub (Polar). Tidak asing lagi bukan? kan kita sering dengar tu kutub utara dan kutub selatan. Apa sih itu koordinat kutub? Koordinat kutub merupakan koordinat yang ada pada cartesius yang terletak pada suatu lingkaran x2+y2=r2 , sehingga koordinat kutub ditulis berdasarkan jari-jari lingkaran (r) dan sudut yang dibentuk terhadap sumbu X positif.
Misalkan koordinat cartesius titik A adalah (x,y), dan koordinat kutub titik A adalah (r,α), hubungan kedua titik adalah :
x = r cos α          dan                y = r  sin α

Berikut ini gambar ilustrasinya gengs, perhatikan baik-baik yaaaa :

 

Ini ada contoh gambar koordinat kutub gengs :

a) Langkah-langkah mengubah koordinat menjadi koordinat cartesius :     Langsung gunakan hubungan : x=rcosα, dan y=rsinα

b) Langkah-langkah mengubah koordinat cartesius menjadi koordinat kutub :
    (i). Menentukan jari-jari (r) dengan pythagoras r2=x2+y2
    (ii). Menentukan besar sudut dengan salah satu rumus :
                                                      sinα=yr atau cosα=xr, atau tanα=yx
    (iii). Untuk kuadrannya, ada empat kemungkinan :
             1. x positif dan y positif , ada di kuadran I,
             2. x negatif dan y positif , ada di kuadran II,
             3. x negatif dan y negatif , ada di kuadran III,
             4. x positif dan y negatif , ada di kuadran IV

Contoh soal :
1) Jika diketahui koordinat kartesius titik P(5, -5) maka koordinat kutubnya adalah . . .
    Penyelesaian :
     x = 5 dan y = -5 ==> berada di Kuadran IV (270º – 360º)
    r² = x² + y² 
    r² = 5² + (-5)²
    r² = 25 + 25
    r² = 50
    r  = √50
    r  = √25√2
    r  = 5√2
    Tan θ = y/x
    Tan θ = -5/5 = -1
    Tan yang bernilai 1 adalah sudut 45º.
    45º di Kuadran IV sma dengan sudut 360º – 45º = 315º
    Sehingga koordinat kutub yang dimaksud adalah P( 5√2, 315º)

2) Jika diketahui koordinat kutub titik P( 5√2, 315º) maka koordinat kartesiusnya adalah . . .
     r = 5√2 dan θ = 315º
     x = r.Cos θ
     x = 5√2.Cos 315º
     x = 5√2 × ½√2 = 5
     y = r.Sin θ
     y = 5√2.Sin 315º
     y = 5√2 × (-½√2) = -5
     Sehingga koordinat kartesius yang dimaksud adalah P( 5, -5)

B. Persamaan Kutub (Garis Polar)
                  Oh ya gengs, misal nih lingkaran L kita bayangkan sebagai planet di ruang dimensi 2, dan sebuah titik A yang tidak berada di dalam lingkaran, maka dari titik A kita bisa melihat sebagian busur lingkaran L. Ujung-ujung busur lingkaran L yang masih bisa terlihat dari titik A kita hubungkan dengan garis, maka garis tersebut disebut sebagai garis kutub (polar). Kayak gini nih gambarnya gengs :

Jika titiknya di luar lingkaran maka garis polarnya memotong lingkaran di dua titik berlainan, tetapi jika titiknya pada lingkaran, maka garis polarnya merupakan garis singgung lingkaran.

Jadi persamaan garis polar melalui titik (x1,y1)

pada lingkaran
a. x2+y2=r2adalah  x1x+y1y=r2

b. (x−a)2+(y−b)2=r2adalah (x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2

c. x2+y2+Ax+By+C=0adalah  x1x+y1y+A2(x1+x)+B2(y1+y)+C=0

Yang perlu di ingat : jika titiknya ada di dalam lingkaran, maka tidak ada garis polar.

Contoh soal :
1) Tentukan persamaan garis polar pada gambar di bawah ini !

 Penyelesaian :

   Persamaan garis polar (x+1)2+y2=25 adalah (x1+1)(x+1)+y1y=25

A(2,4) ==>   (x1+1)(x+1)+y1y=25 A = (2,4) ==> (2+1)(x+1)+4y=25                          3x+3+4y=25                          3x+4y−22=0

Jika digambarkan yaitu sebagai berikut :

2) Tentukan persamaan garis polar pada gambar di bawah ini

Penyelesaian :

Persamaan garis polar x²+(y−3)²=16 adalah x1x+(y1−3)(y−3)=16

A(6,4) ==> x1x+(y1−3)(y−3)=16

6x+(4−3)(y−3)=16

6x+y−3=16

6x+y−19=0

 
                  Sekian dulu pembahasan untuk kali ini gengs, kritik dan saran yang bersifat membangun dari kalian sangat diharapkan yaaa. semoga bermanfaat ya gengs.. selamat berjumpa kembali :)